domingo, 20 de septiembre de 2015
lunes, 14 de septiembre de 2015
1.6 Ecuaciones polinomicas
Una
raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0.
Un
resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen
exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene
exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0,
contados con sus respectivas multiplicidades.
A esto se lo conoce como Teorema
Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo
algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos
unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver
ecuaciones.
Ya
podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación como:
zn +
23 = 0 → z = n√-23
Serán
n soluciones.
O
las soluciones de ecuaciones como:
zn/m +1
= 0 → z = n√(-1)m
Cualquier
complejo elevado a m está univaluado, nos proporcionará un único
valor.
Si m/n es
irreducible, tendremos n soluciones. Si es reducible, m/n = p/q,
y tendremos q < n soluciones distintas.Es
importante, por tanto, simplificar m/n siempre.
Además supongamos que hemos simplificado hasta alcanzar m/n. Tomemos una solución de
las n posibles.
Al
elevarla a n/m debería darnos z, pero nos dará m valores
y solo uno de ellos es z.
1.5 Teorema de Moivre,potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.
La fórmula
de De Moivre nombrada así por Abraham de
Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para
cualquier número real) x y para cualquier entero n se
verifica que:
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad
imaginaria) con la trigonometría.
La expresión "cos x + i sen x" a veces se
abrevia como cis x.
Al
expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la
imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en
términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para
encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal
que zn = 1.
1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo
Un número
complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.
Módulo
de un número complejo
El
módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen
de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
Argumento
de un número complejo
El
argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje
real. Se designa por arg(z).
Expresión
de un número complejo en forma polar.
z
= rα
|z|
= r r es el módulo.
arg(z)
= a a es el argumento.
1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto de un numero complejo.
Por un largo tiempo se pensó
que la obtención de la raíz cuadrada de un número negativo era imposible. Una
teoría general mencionaba que ningún número puede
continuar negativo después haberse elevado al cuadrado. Sin embargo, con el
descubrimiento de los números complejos, este estudio se detuvo completamente.
Ahora es posible obtener la raíz cuadrada de números negativos y, sin embargo
esta es seguida de un símbolo ‘i’. Esta “i” representa el término imaginario,
porque tal número no existe en la realidad.
El módulo o valor absoluto
es un concepto esencial de las matemáticas, ya sea respecto a los números
reales o complejos. Ya sabemos que el módulo de un número es siempre el número
mismo removiéndole su signo de magnitud. Es decir, si el número es positivo,
entonces su módulo nos da, de nuevo el mismo número, pero si el número dado es
negativo, entonces su módulo sería, la forma positiva de ese número.
El
uso de los números imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero
principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de álgebra para
encontrar la raíz cuadrada de números negativos.
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