1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

Suma: La operación de sumar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarse como:

 (x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d)i

Esto es, es posible observar que las partes correspondientes de los números reales se suman juntos y que se hace lo mismo con la parte imaginaria.

Examinemos un ejemplo para entender la operación más plenamente:

Imaginemos que debemos expresar (1 + 8i) + (4 + 5i) en forma compleja.

Entonces, sumando la parte real y la parte imaginaria por separado, obtenemos

(1 + 4) + (8 + 5) i

= 5 + 13i

Resta: La operación de restar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarse como:

(x + yi) - (c + di) = (x + c) - (y + d)i

Veamos un ejemplo de la resta de dos números complejos:

Imaginemos que debemos expresar (1+ 8i) - (−4 - 5i) en forma compleja.

Entonces, restando la parte real y la parte imaginaria separadamente, obtenemos

= (1 - 4) - (8 - 5)i

= −3 – 3i

Multiplicación: La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + y i) (c + d i) = (x c - y d) + (x + d yc) i

Sin embargo, esta multiplicación puede realizarse aplicando las propiedades básicas de la Multiplicación de los Números Reales, y recordando la regla básica de los números complejos, esto es, i2 = −1.

Veamos un ejemplo:

Imaginemos que debemos expresar (2 + 3i) (2 - 2i), en forma compleja.

Usando la propiedad distributiva, obtenemos

= (2 + 3i) (2 - 2i) = (2 + 3i) 2 + (2 + 3i) (- 2i)

= 4 + 6i – 4i - 6i2

Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad i2 = −1 obtenemos,

= 4 + 6i – 4i + 6

= 10 + 2i

División: La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 - i) puede expresarse como:

(8 + 4 i) / (1 - i)

En primer lugar, multiplicando el numerador y el denominador con el conjugado del denominador de la expresión anterior, obtenemos

[(8 + 4 i) (1 + i)]

Agrupando y multiplicando los términos semejantes,

[(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 - i) (1 + i)] =

[8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 - i + i - i 2]

= (4 + 12 i) / (2)

= 2 + 6 i

1.1 Definición y origen de los números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

Cabe resaltar que el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.

Información obtenida de:Definición de números complejos - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/numeros-complejos/#ixzz3kLkEf2pO

Breve historia de los números complejos.
 

Fecha aproximada	Persona	Evento
50	Heron de Alejandria	Primero en encontrar raíz cuadrada de un numero negativo
850	Mahavira de India	Decía que un número complejo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado.
1545	Cardano de Italia	Las soluciones de las ecuaciones cubicas implican raíces cuadradas de números negativos.
1637	Descartes de Francia	Introdujo los términos “real” e “imaginario”.
1748	Euler de Suiza	Uso i para raiz de -1
1832	Gauss de Alemania	Introdujo el termino número complejo.

Sub-temas Unidad 1 Números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
1.3 Potencias de i, modulo o valor absoluto de un numero complejo.
1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.
1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.
1.6 Ecuaciones polinomicas.